Bloque 3 · Ingeniería Térmica I · Propiedades Termodinámicas de los Gases Ideales y de los Gases Perfectos.
En estas prácticas se aprende a determinar la relación de los calores específicos del aire (índice adiabático) mediante el método de Rüchhardt.
Para su realización es conveniente haber repasado previamente la Ecuación de la Segunda Ley de Newton para el movimiento vibratorio armónico simple (de Física) y el método de desarrollo en Serie de Taylor (de Matemáticas).
En la realización de esta Práctica los estudiantes deben apreciar tanto la importancia de la precisión de la medición de los parámetros que intervienen en ella, por su influencia en los resultados finales, como, nuevamente, la importancia de la coherencia dimensional de las ecuaciones empleadas.
Es necesario el uso de calculadora.
El material para la realización de la Práctica consiste en un pequeño compresor que bombea aire hacia una botella en la que el aire se remansa y se controla su salida con una válvula. Cuando se abre la válvula el aire pasa a un matraz cuyo volumen V_m hay que medir. En la boca del matraz hay un tubo de vidrio cuyo diámetro, D, también hay que medir (del que hay que obtener la superficie A), en el que hay una hendidura para dejar pasar el aire.
Determinación de la relación de calores específicos del aire, k, mediante el método de Rüchhardt.
Con la válvula de la botella abierta y el compresor funcionando se introduce en el tubo un pequeño cilindro de masa m, que también hay que medir. El cilindro desciende por el tubo y una vez rebasada la hendidura en la caída, va comprimiendo el aire en el matraz, aumentando su presión y también, por tanto, la fuerza ascendente que realiza el aire en el matraz sobre el cilindro. El cilindro se acaba deteniendo cuando la fuerza ascendente debida a la presión del aire, p_0 A, iguala a la fuerza descendente debida al peso del cilindro, mg, y a la fuerza debida a la presión atmosférica, p_a A, que también hay que medir en el barómetro de mercurio.
Cuando el cilindro se detiene se tiene, pues, que
p_0 A=p_a A+m g
de donde
p_0=p_a+\frac{\text{mg}}{A}
Como en el matraz está entrando aire impulsado por el compresor, la presión de éste en su interior aumenta y da lugar a una fuerza que hace que el cilindro se eleve. Cuando el cilindro sobrepasa la hendidura, el aire sale y el cilindro se frena hasta pararse, momento éste en el que vuelve a caer y el proceso de inicia de nuevo, dando lugar a una serie de sucesivos procesos de compresión y expansión en los que apenas se intercambia calor. El cilindro adquiere, así, un movimiento que se asemeja al movimiento vibratorio armónico simple, de frecuencia \omega.
No hay que introducir nunca el cilindro por el tubo si el compresor no está funcionando y/o la válvula en la botella está cerrada, es decir, si no está saliendo aire por el tubo. Si se introduce el cilindro en el tubo y el aire no está circulando por él, el cilindro caerá y se bloqueará en el fondo del tubo. Cuando esto pasa, hay que sacar el tubo y luego sacar el cilindro empujándolo suavemente con un alambre, con la punta de un bolígrafo o similar. Nunca hay que sacar el cilindro golpeando el tubo ni tampoco provocando su expulsión introduciendo aire con el compresor, porque la expulsión así puede ser violenta y el cilindro saldrá prácticamente disparado, pudiendo desde romper el tubo hasta provocar daños de índole diversa.
Como los cambios de temperatura son muy pequeños y en todo momento el valor de ésta se encuentra en el entorno de la temperatura ambiente, es aplicable el modelo de gas perfecto, que para los procesos adiabáticos permite relacionar la presión y el volumen según la ecuación
p V^k=K
donde k es la relación de calores específicos o índice adiabático, que es justamente lo que se pretende determinar.
El volumen que ocupa el aire en cualquier instante, V(z), cuando el cilindro se encuentra a la altura z, es la suma del volumen del matraz, V_m, el volumen del tubo hasta la posición más baja del cilindro, V_t, y el volumen comprendido entre la posición más baja del cilindro y su posición a la altura z, que vale Az,es decir
V(z) = V_m + V_t + A z
Midiendo el volumen del tubo hasta la posición más baja del cilindro, V_t, y sumando ese volumen al del matraz, V_m, se obtiene el volumen V_o, es decir, si V_0 = V_m + V_t , resulta
V(z) = V_0+ A z
Cuanto más grande sea V_0 y más pequeño sea V_t, menor error se cometerá si se toma V_0\simeq V_m. Para ello, es necesario que el diámetro del tubo sea lo más pequeño posible y/o que el tubo sea lo más corto posible.
Pues bien: desde el volumen V_0, a z = 0, hasta el volumen V, a la altura z (que se designa como V(z), como se ha visto) el aire evoluciona según
p(z) [V(z)]^k=p_0 V_0^k
Sustituyendo V(z)
p(z) (V_0+ A z)^k=p_0 V_0^k
Operando,
p (z)=\frac{p_0 V_0^k}{\left(V_0 + \text{Az}\right)^k}=p_0 \left(\frac{V_0}{V_0+\text{Az}}\right)^k=p_0 \left(\frac{1}{1+\frac{\text{Az}}{V_0}}\right)^k
Por otro lado, la segunda ley de Newton aplicable al movimiento vibratorio armónico simple del cilindro es
m\frac{d^2 z}{d t^2}=F (z)
donde z es la altura a la que está el cilindro en cualquier instante medida desde el punto más bajo en el que se encuentra el cilindro cuando se mueve.
Cuando el cilindro se mueve desde z=0, donde la presión vale p_0, hasta z, donde la presión vale p(z), la fuerza que actúa sobre él, F (z), viene dada por
F (z)=A p (z)-A p_0=A[p (z)-p_0]
donde p(z) es la presión del aire en el matraz, que se indica, por tanto, como una función de la altura a la que se encuentre el cilindro en cada instante. Sustituyendo en la ecuación de la segunda ley de Newton,
m\frac{d^2 z}{d t^2}=A [p (z)-p_0]
Sustituyendo p(z) por el valor obtenido anteriormente, resulta,
m\frac{d^2 z}{d t^2}=A\left[p_0 \left(\frac{1}{1+\frac{\text{Az}}{V_0}}\right)^k-p_0\right]=Ap_0\left[\frac{1}{\left(1+\frac{\text{Az}}{V_0}\right)^k}-1\right]
Pues bien: recordando que en un desarrollo en serie de Taylor y para pequeños valores de x se cumple que
\frac{1}{(1+x)^k}=1-k x+\text{...}
Haciendo
x=\frac{\text{Az}}{V_0}
siempre que Az<<<V_0, es decir, siempre que el diámetro del tubo sea muy estrecho, V_0 muy grande, z muy pequeña o todas las anteriores, resulta
\frac{1}{\left(1+\frac{\text{Az}}{V_0}\right)^k}=1-k\frac{\text{Az}}{V_0}
Y de aquí, sustituyendo en la ecuación de m\frac{d^2 z}{d t^2} queda
m\frac{d^2 z}{d t^2}=Ap_0\left(1-k\frac{\text{Az}}{V_0}-1\right)=-k\frac{A^2 p_0}{V_0} z
Dividiendo los dos miembros por m
\frac{d^2 z}{d t^2}=-k\frac{A^2 p_0}{m V_0} z
Por otro lado, la ecuación que permite obtener la frecuencia de un movimiento vibratorio armónico simple, \omega, se escribe como
\frac{d^2 z}{d t^2}=-\omega^2 z
por lo que, comparando las dos últimas, resulta
\omega ^2=k \frac{A^2 p_0}{m V_0}
de donde
k=\omega^2\frac{m V_0}{A^2 p_0}
Como A=\frac{\pi D^2}{4} resulta, para k,
k=\omega^2\frac{16 m V_0}{\pi ^2 D^4 p_0}
Y teniendo en cuenta el valor de p_0 calculado al principio, p_0=p_a+\frac{\text{mg}}{A}, resulta, para k
k= \omega^2\frac{16 mV_0}{\pi ^2 D^4 \left(p_a+\frac{mg}{A}\right)}
O bien, en función del período, teniendo en cuenta que \omega =\frac{2 \pi }{\tau },
k=\frac{64 m V_0}{\tau ^2 D^4 \left(p_a+\frac{\text{mg}}{A}\right)}
Determinación de los calores específicos a presión y a volumen constante.
Una vez obtenido k aplicando la Ley de Mayer se pueden determinar los calores específicos a presión constante, c_p y a volumen constante, c_v. Según Mayer,
c_p-c_v=R
Para obtener c_v, dividiendo por c_v,
\frac{c_p}{c_v}-1=\frac{R}{c_v}
es decir,
\frac{R}{c_v}=k-1
y de aquí
c_v=R\frac{1}{k-1}
Para obtener c_p, si en la ecuación de la Ley de Mayer se divide por c_p
1-\frac{c_v}{c_p}=\frac{R}{c_p}
es decir,
1-\frac{1}{k}=\frac{R}{c_p}
y operando,
\frac{k-1}{k}=\frac{R}{c_p}
es decir,
c_p=R\frac{k}{k-1}
Dependencia de los calores específicos con la temperatura: modelo de gas ideal.
Para encontrar la ley de dependencia de los calores específicos, c_p y c_v, con la temperatura, T, hay que repetir la experiencia calentando o enfriando el aire que entra en el matraz.