![\"\"](\"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-content\/uploads\/2012\/10\/Relacion-de-Calores-Especificos-para-el-aire.jpg\" "\\"Relacion")
<\/a><\/p>\nEl material para la realizaci\u00f3n de la Pr\u00e1ctica consiste en un peque\u00f1o compresor que bombea aire hacia una botella en la que el aire se remansa y se controla su salida con una v\u00e1lvula. Cuando se abre la v\u00e1lvula el aire pasa a un matraz cuyo volumen V_m<\/span> hay que medir. En la boca del matraz hay un tubo de vidrio cuyo di\u00e1metro, D<\/span>, tambi\u00e9n hay que medir (del que hay que obtener la superficie A<\/span>), en el que hay una hendidura para dejar pasar el aire.<\/p>\n Determinaci\u00f3n de la relaci\u00f3n de calores espec\u00edficos del aire, k<\/span>, mediante el m\u00e9todo de R\u00fcchhardt.<\/strong><\/em><\/p>\n Con la v\u00e1lvula de la botella abierta y el compresor funcionando<\/strong> se introduce en el tubo un peque\u00f1o cilindro de masa m<\/span>, que tambi\u00e9n hay que medir. El cilindro desciende por el tubo y una vez rebasada la hendidura en la ca\u00edda, va comprimiendo el aire en el matraz, aumentando su presi\u00f3n y tambi\u00e9n, por tanto, la fuerza ascendente que realiza el aire en el matraz sobre el cilindro. El cilindro se acaba deteniendo cuando la fuerza ascendente debida a la presi\u00f3n del aire, p_0 A<\/span>, iguala a la fuerza descendente debida al peso del cilindro, mg<\/span>, y a la fuerza debida a la presi\u00f3n atmosf\u00e9rica, p_a A<\/span>, que tambi\u00e9n hay que medir en el bar\u00f3metro de mercurio.<\/p>\n Cuando el cilindro se detiene se tiene, pues, que<\/p>\n p_0 A=p_a A+m g<\/span><\/p>\n de donde<\/p>\n p_0=p_a+\\frac{\\text{mg}}{A}<\/span><\/p>\n Como en el matraz est\u00e1 entrando aire impulsado por el compresor, la presi\u00f3n de \u00e9ste en su interior aumenta y da lugar a una fuerza que hace que el cilindro se eleve. Cuando el cilindro sobrepasa la hendidura, el aire sale y el cilindro se frena hasta pararse, momento \u00e9ste en el que vuelve a caer y el proceso de inicia de nuevo, dando lugar a una serie de sucesivos procesos de compresi\u00f3n y expansi\u00f3n en los que apenas se intercambia calor. El cilindro adquiere, as\u00ed, un movimiento que se asemeja al movimiento vibratorio arm\u00f3nico simple, de frecuencia \\omega<\/span>.<\/p>\n No hay que introducir nunca el cilindro por el tubo si el compresor no est\u00e1 funcionando y\/o la v\u00e1lvula en la botella est\u00e1 cerrada, es decir, si no est\u00e1 saliendo aire por el tubo. Si se introduce el cilindro en el tubo y el aire no est\u00e1 circulando por \u00e9l, el cilindro caer\u00e1 y se bloquear\u00e1 en el fondo del tubo. Cuando esto pasa, hay que sacar el tubo y luego sacar el cilindro empuj\u00e1ndolo suavemente con un alambre, con la punta de un bol\u00edgrafo o similar. Nunca hay que sacar el cilindro golpeando el tubo ni tampoco provocando su expulsi\u00f3n introduciendo aire con el compresor, porque la expulsi\u00f3n as\u00ed puede ser violenta y el cilindro saldr\u00e1 pr\u00e1cticamente disparado, pudiendo desde romper el tubo hasta provocar da\u00f1os de \u00edndole diversa.<\/p>\n Como los cambios de temperatura son muy peque\u00f1os y en todo momento el valor de \u00e9sta se encuentra en el entorno de la temperatura ambiente, es aplicable el modelo de gas perfecto, que para los procesos adiab\u00e1ticos permite relacionar la presi\u00f3n y el volumen seg\u00fan la ecuaci\u00f3n<\/p>\n p V^k=K<\/span><\/p>\n donde k es la relaci\u00f3n de calores espec\u00edficos o \u00edndice adiab\u00e1tico, que es justamente lo que se pretende determinar.<\/p>\n El volumen que ocupa el aire en cualquier instante, V(z)<\/span>, cuando el cilindro se encuentra a la altura z<\/span>, es la suma del volumen del matraz, V_m<\/span>, el volumen del tubo hasta la posici\u00f3n m\u00e1s baja del cilindro, V_t<\/span>, y el volumen comprendido entre la posici\u00f3n m\u00e1s baja del cilindro y su posici\u00f3n a la altura z<\/span>, que vale Az<\/span>,es decir<\/p>\n V(z) = V_m + V_t + A z<\/span><\/p>\n Midiendo el volumen del tubo hasta la posici\u00f3n m\u00e1s baja del cilindro, V_t<\/span>, y sumando ese volumen al del matraz, V_m<\/span>, se obtiene el volumen V_o<\/span>, es decir, si V_0 = V_m + V_t <\/span>, resulta<\/p>\n V(z) = V_0+ A z<\/span><\/p>\n Cuanto m\u00e1s grande sea V_0<\/span> y m\u00e1s peque\u00f1o sea V_t<\/span>, menor error se cometer\u00e1 si se toma V_0\\simeq V_m<\/span>. Para ello, es necesario que el di\u00e1metro del tubo sea lo m\u00e1s peque\u00f1o posible y\/o que el tubo sea lo m\u00e1s corto posible.<\/p>\n Pues bien: desde el volumen V_0<\/span>, a z = 0<\/span>, hasta el volumen V<\/span>, a la altura z<\/span> (que se designa como V(z)<\/span>, como se ha visto) el aire evoluciona seg\u00fan<\/p>\n p(z) [V(z)]^k=p_0 V_0^k<\/span><\/p>\n Sustituyendo V(z)<\/span><\/p>\n p(z) (V_0+ A z)^k=p_0 V_0^k<\/span><\/p>\n Operando,<\/p>\n p (z)=\\frac{p_0 V_0^k}{\\left(V_0 + \\text{Az}\\right)^k}=p_0 \\left(\\frac{V_0}{V_0+\\text{Az}}\\right)^k=p_0 \\left(\\frac{1}{1+\\frac{\\text{Az}}{V_0}}\\right)^k<\/span><\/p>\n Por otro lado, la segunda ley de Newton aplicable al movimiento vibratorio arm\u00f3nico simple del cilindro es<\/p>\n m\\frac{d^2 z}{d t^2}=F (z)<\/span><\/p>\n donde z<\/span> es la altura a la que est\u00e1 el cilindro en cualquier instante medida desde el punto m\u00e1s bajo en el que se encuentra el cilindro cuando se mueve.<\/p>\n Cuando el cilindro se mueve desde z=0<\/span>, donde la presi\u00f3n vale p_0<\/span>, hasta z<\/span>, donde la presi\u00f3n vale p(z)<\/span>, la fuerza que act\u00faa sobre \u00e9l, F (z)<\/span>, viene dada por<\/p>\n F (z)=A p (z)-A p_0=A[p (z)-p_0]<\/span><\/p>\n donde p(z)<\/span> es la presi\u00f3n del aire en el matraz, que se indica, por tanto, como una funci\u00f3n de la altura a la que se encuentre el cilindro en cada instante. Sustituyendo en la ecuaci\u00f3n de la segunda ley de Newton,<\/p>\n m\\frac{d^2 z}{d t^2}=A [p (z)-p_0]<\/span><\/p>\n Sustituyendo p(z)<\/span> por el valor obtenido anteriormente, resulta,<\/p>\n m\\frac{d^2 z}{d t^2}=A\\left[p_0 \\left(\\frac{1}{1+\\frac{\\text{Az}}{V_0}}\\right)^k-p_0\\right]=Ap_0\\left[\\frac{1}{\\left(1+\\frac{\\text{Az}}{V_0}\\right)^k}-1\\right]<\/span><\/p>\n Pues bien: recordando que en un desarrollo en serie de Taylor y para peque\u00f1os valores de x<\/span> se cumple que<\/p>\n \\frac{1}{(1+x)^k}=1-k x+\\text{...}<\/span><\/p>\n Haciendo<\/p>\n x=\\frac{\\text{Az}}{V_0}<\/span><\/p>\n siempre que Az<<<V_0<\/span>, es decir, siempre que el di\u00e1metro del tubo sea muy estrecho, V_0<\/span> muy grande, z<\/span> muy peque\u00f1a o todas las anteriores, resulta<\/p>\n \\frac{1}{\\left(1+\\frac{\\text{Az}}{V_0}\\right)^k}=1-k\\frac{\\text{Az}}{V_0}<\/span><\/p>\n Y de aqu\u00ed, sustituyendo en la ecuaci\u00f3n de m\\frac{d^2 z}{d t^2}<\/span> queda<\/p>\n m\\frac{d^2 z}{d t^2}=Ap_0\\left(1-k\\frac{\\text{Az}}{V_0}-1\\right)=-k\\frac{A^2 p_0}{V_0} z<\/span><\/p>\n Dividiendo los dos miembros por m<\/span><\/p>\n \\frac{d^2 z}{d t^2}=-k\\frac{A^2 p_0}{m V_0} z<\/span><\/p>\n Por otro lado, la ecuaci\u00f3n que permite obtener la frecuencia de un movimiento vibratorio arm\u00f3nico simple, \\omega<\/span>, se escribe como<\/p>\n \\frac{d^2 z}{d t^2}=-\\omega^2 z<\/span><\/p>\n por lo que, comparando las dos \u00faltimas, resulta<\/p>\n \\omega ^2=k \\frac{A^2 p_0}{m V_0}<\/span><\/p>\n de donde<\/p>\n k=\\omega^2\\frac{m V_0}{A^2 p_0}<\/span><\/p>\n Como A=\\frac{\\pi D^2}{4}<\/span> resulta, para k<\/span>,<\/p>\n k=\\omega^2\\frac{16 m V_0}{\\pi ^2 D^4 p_0}<\/span><\/p>\n Y teniendo en cuenta el valor de p_0<\/span> calculado al principio, p_0=p_a+\\frac{\\text{mg}}{A}<\/span>, resulta, para k<\/span><\/p>\n k= \\omega^2\\frac{16 mV_0}{\\pi ^2 D^4 \\left(p_a+\\frac{mg}{A}\\right)}<\/span><\/p>\n O bien, en funci\u00f3n del per\u00edodo, teniendo en cuenta que \\omega =\\frac{2 \\pi }{\\tau }<\/span>,<\/p>\n k=\\frac{64 m V_0}{\\tau ^2 D^4 \\left(p_a+\\frac{\\text{mg}}{A}\\right)}<\/span><\/p>\n Determinaci\u00f3n de los calores espec\u00edficos a presi\u00f3n y a volumen constante.<\/strong><\/em><\/p>\n Una vez obtenido k<\/span> aplicando la Ley de Mayer se pueden determinar los calores espec\u00edficos a presi\u00f3n constante, c_p<\/span> y a volumen constante, c_v<\/span>. Seg\u00fan Mayer,<\/p>\n c_p-c_v=R<\/span><\/p>\n Para obtener c_v<\/span>, dividiendo por c_v<\/span>,<\/p>\n \\frac{c_p}{c_v}-1=\\frac{R}{c_v}<\/span><\/p>\n es decir,<\/p>\n \\frac{R}{c_v}=k-1<\/span><\/p>\n y de aqu\u00ed<\/p>\n c_v=R\\frac{1}{k-1}<\/span><\/p>\n Para obtener c_p<\/span>, si en la ecuaci\u00f3n de la Ley de Mayer se divide por c_p<\/span><\/p>\n 1-\\frac{c_v}{c_p}=\\frac{R}{c_p}<\/span><\/p>\n es decir,<\/p>\n 1-\\frac{1}{k}=\\frac{R}{c_p}<\/span><\/p>\n y operando,<\/p>\n \\frac{k-1}{k}=\\frac{R}{c_p}<\/span><\/p>\n es decir,<\/p>\n c_p=R\\frac{k}{k-1}<\/span><\/p>\n Dependencia de los calores espec\u00edficos con la temperatura: modelo de gas ideal.<\/strong><\/em><\/p>\n Para encontrar la ley de dependencia de los calores espec\u00edficos, c_p<\/span> y c_v<\/span>, con la temperatura, T<\/span>, hay que repetir la experiencia calentando o enfriando el aire que entra en el matraz.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" En estas pr\u00e1cticas se aprende a determinar la relaci\u00f3n de los calores espec\u00edficos del aire (\u00edndice adiab\u00e1tico) mediante el m\u00e9todo de R\u00fcchhardt. 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