{"id":5417,"date":"2020-03-26T13:05:34","date_gmt":"2020-03-26T12:05:34","guid":{"rendered":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/?p=5417"},"modified":"2020-05-10T15:12:01","modified_gmt":"2020-05-10T13:12:01","slug":"por-que-la-evolucion-de-infectados-por-el-covid-19-es-exponencial","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/por-que-la-evolucion-de-infectados-por-el-covid-19-es-exponencial\/","title":{"rendered":"\u00bfPor qu\u00e9 la evoluci\u00f3n de infectados por el COVID-19 es exponencial?"},"content":{"rendered":"

\n

Download the PDF file .<\/a><\/p>\n<\/object><\/p>\n\n\n

Desde el 14 de Marzo nos encontramos en Espa\u00f1a en Estado de Alarma por la preocupante evoluci\u00f3n del n\u00famero de contagiados por el COVID-19, que ha mostrado ser exponencial.
\u00bfPor qu\u00e9 la evoluci\u00f3n del n\u00famero de contagios del del COVID-19 es exponencial? En esta p\u00e1gina Web<\/a> se muestran algunas animaciones de todos los escenarios posibles. Las animaciones siempre se agradecen pero en Ingenier\u00eda necesitamos ponerles n\u00fameros a las cosas.<\/p>\n\n\n\n

Vamos a ello:<\/p>\n\n\n\n

Aparecen m\u00e1s infectados cuantos m\u00e1s infectados haya.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Llamando [i]<\/span> al n\u00famero total de infectados (lo que en Qu\u00edmica ser\u00eda la “concentraci\u00f3n” de infectados), esto lleva a admitir que la velocidad de contagio, \\frac{d[i]}{dt}<\/span>, es proporcional al n\u00famero de contagiados, k[i]<\/span>. La Cin\u00e9tica Qu\u00edmica del n\u00famero de contagiados corresponde, si esto es as\u00ed, a la de una reacci\u00f3n de orden 1, es decir <\/p>\n\n\n\n

\\frac{d[i]}{dt}=k[i] <\/span> <\/p>\n\n\n\n

Se trata de una ecuaci\u00f3n diferencial de variables separables en la que la constante k<\/span> tiene unidades de \\frac{1}{t} <\/span>. No es necesario, en este caso, recurrir al Sistema Internacional y expresar el tiempo en segundos. Basta con expresarlo en d\u00edas, ya que el balance de infectados se ofrece diariamente. Por tanto, las unidades de k<\/span> ser\u00e1n \\frac{1}{\\text{dias}} <\/span>. La ecuaci\u00f3n diferencial anterior lleva a<\/p>\n\n\n\n

\\frac{d[i]}{[i]} = k dt <\/span> <\/p>\n\n\n\n

Integrando entre dos concentraciones de infectados, [i]_1 <\/span> e [i]_2 <\/span>, reportadas en dos instantes, t_1 <\/span> e t_2 <\/span>, resulta<\/p>\n\n\n\n

\\int _{[i]_1}^{[i]_2}\\frac{d[i]}{[i]} = \\int _{t_1}^{t_2} k dt<\/span><\/p>\n\n\n\n

Considerando k<\/span> como constante, resulta<\/p>\n\n\n\n

\\ln \\frac{[i]_2}{[i]_1}=k \\left(t_2-t_1\\right) <\/span> <\/p>\n\n\n\n

Y operando, resulta<\/p>\n\n\n\n

\\frac{[i]_2}{[i]_1}=e^{k \\left(t_2-t_1\\right)} <\/span> <\/p>\n\n\n\n

Nuestro problema, ahora, es determinar el valor de la constante k <\/span>. Para ello, hemos de recurrir a los datos medidos de dos instantes cualesquiera. En Web del Ministerio de Sanidad<\/a> se pueden encontrar datos fiables. Basta con elegir los datos correspondientes a dos d\u00edas, cualesquiera, y sustituir en la ecuaci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

k=\\frac{\\ln \\frac{[i]_2}{[i]_1}}{t_2-t_1}<\/span> <\/p>\n\n\n\n

Tomando los datos del d\u00eda 16 de Marzo, cuando [i]_1=9191<\/span> infectados, y del 25 de Marzo (a 9 d\u00edas de distancia), cuando [i]_2=47610<\/span> infectados, resulta<\/p>\n\n\n\n

k=\\frac{ln \\frac{47610 \\text{infectados}}{9191 \\text{infectados}}}{9 \\text{d\u00edas}}=0, 1828 \\text{d\u00edas}^{-1}<\/span> <\/p>\n\n\n\n

As\u00ed pues, la ecuaci\u00f3n que da una idea de la evoluci\u00f3n de la infecci\u00f3n es<\/p>\n\n\n\n

[i]_2=[i]_1e^{0,1828 \\left(t_2-t_1\\right)} <\/span> <\/p>\n\n\n\n

donde hay que escribir los tiempos en d\u00edas.<\/p>\n\n\n\n

A continuaci\u00f3n se muestra la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de esta ecuaci\u00f3n. Como se puede ver, es una representaci\u00f3n t\u00edpica de una ecuaci\u00f3n exponencial. Pasada una primera fase inicial, en la que el n\u00famero de infectados aumenta lentamente, pasa a una fase de aumento muy r\u00e1pido… y rapid\u00edsimo a medida que avanza el tiempo.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Como se puede deducir de la forma de la curva, el aumento del n\u00famero de infectados, [i]<\/span>, es muy lento en los primeros d\u00edas. Esto es lo que ha enmascarado la epidemia y lo que ha confundido a los expertos: al tratarse de un virus nuevo, nadie era capaz de imaginarse su alt\u00edsima contagiosidad. En Espa\u00f1a no miramos a la evoluci\u00f3n del COVID-19 en otros pa\u00edses (o s\u00ed) y jam\u00e1s pensamos que \u00edbamos a seguir el mismo camino. La cuesti\u00f3n es que aqu\u00ed estamos.<\/p>\n\n\n\n

Las actuaciones, a la vista de la forma de la curva, se encaminan a sacarla de la zona exponencial. Las primeras medidas, en las que estamos, tratan de encontrar un cambio en la ya leve curvatura de la gr\u00e1fica, es decir, una inflexi\u00f3n. Una inflexi\u00f3n que ser\u00e1 muy tenue, pero aparecer\u00e1. Y, a partir de ah\u00ed, a encontrar el m\u00e1ximo de la funci\u00f3n. A partir del m\u00e1ximo, nos encontraremos en ya en la zona de decrecimiento de los contagios. A partir de ah\u00ed, iremos “viendo la luz”<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

<\/p>

<\/p>

<\/p>

<\/p>

<\/p>

<\/p>

<\/p>

<\/p>

En este sentido, la declaraci\u00f3n del Estado de Alarma y las medidas de contenci\u00f3n son mucho m\u00e1s que acertadas y pertinentes. Hay que “doblar” (<\/span>textual del Prof. Dr. Fernando Sim\u00f3n Soria<\/em>) la ecuaci\u00f3n exponencial; v\u00e9anse los escenarios recreados en las <\/span>animaciones de Washington Post<\/a> que indiqu\u00e9 en el comienzo de esta misma entrada.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Desde el 14 de Marzo nos encontramos en Espa\u00f1a en Estado de Alarma por la preocupante evoluci\u00f3n del n\u00famero de contagiados por el COVID-19, que ha mostrado ser exponencial.\u00bfPor qu\u00e9 la evoluci\u00f3n del n\u00famero de contagios del del COVID-19 es exponencial? En esta p\u00e1gina Web se muestran algunas animaciones de todos los escenarios posibles. Las […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[47,22,49],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5417"}],"collection":[{"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5417"}],"version-history":[{"count":59,"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5417\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5643,"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5417\/revisions\/5643"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5417"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5417"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/dim.usal.es\/eps\/mmt\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5417"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}