Sobre errores frecuentes, desatinos y otros disparates. Crónica del despropósito III: masa, peso y principio de Arquímedes.

¿Qué pesa más, un kilogramo de paja o un kilogramo de plomo?

Otra pregunta trampa. Es la típica pregunta que se hace en el cole a los niños cuando se explica la densidad. Como el plomo es más denso que la paja, $1 kg$ de paja ocupa un volumen mayor (abulta más) que $1 kg$ de plomo, por lo que los más competitivos (los rapidillos, vamos...) contestan los primeros: "¡$1 kg$ de paja! Y no se han preguntado más. Bueno, son niños y aún no saben de esta distinción entre masa y peso.

La pregunta tiene más miga de la que parece y para responder a ella hay que tomarse tiempo. La trampa comienza en el momento en que masa y fuerza (el peso lo es) se miden con una magnitud que se llama igual: el $kg$. El $kg$ es la unidad en que se mide la masa en el Sistema Internacional y es la unidad en que se mide la fuerza en el Sistema Técnico.

Se necesita más información: ¿a qué $kg$ se refiere la pregunta, a $1 kg$ de masa o a  $1 kg$ de peso?

Si se refiere al peso, la respuesta correcta es que pesan lo mismo.

Pero si se refiere a la masa, se ha de tener en cuenta el Principio de Arquímedes: "todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un fuerza vertical y hacia arriba (llamada "empuje") que es igual al peso del fluido que desaloja". Date cuenta de que el empuje disminuye el peso. Quizás alguien piense que hay que meter el $kg$ de paja y de plomo en agua para poder aplicar el Principio de Arquímedes porque, no se sabe por qué razón, se relaciona a Arquímedes con agua. Pues no. En ningún sitio está escrito en el Principio de Arquímedes que el fluido en que están sumergidos los cuerpos tenga que ser agua. ¿Entonces?

Pensemos un poco más. Todos nosotros y todo lo que nos rodea está sumergido en un fluido: aire. Todos nosotros y todo lo que nos rodea está en el fondo de una inmensa "piscina" de aire (la atmósfera), y donde estamos nosotros, y cualquiera de los objetos que nos rodean, no puede estar el aire. Ni nada ni nadie más. Si nos quitamos, sí. Nos podremos poner en otro sitio y alguien o algo podrá venir y ocupar el sitio que teníamos, pero el sitio en el que estemos nunca podrá ser ocupado por otra cosa: ni por aire. El volumen que ocupamos es el volumen de aire que desalojamos.

Ahora pensemos en nuestro $kg$ de paja y en nuestro $kg$ de plomo. El volumen que ocupan es el volumen de aire que desalojan. ¿Cuál de los dos ocupa más volumen? El menos denso, que es la paja. Entonces, ¿cuál de los dos desaloja más aire? La paja. Y, siendo así, ¿cuál de los dos experimenta un empuje mayor? Pues la paja. ¿Cuál pesa menos? $1 kg$ de paja pesa menos que $1 kg$ de plomo, si el $kg$ al que nos referimos es el $kg$ de masa.

Y como somos como somos, Ingenieros, con esta mente tan numérica (se nos tiene que aceptar y querer como somos, qué le vamos a hacer), no nos quedamos tranquilos si no le ponemos números a las cosas. Así, si la densidad del plomo, $\rho_{Pb}$, es $\rho_{Pb}=11300\frac{kg}{m^3}$, la densidad de la paja bien comprimida, $\rho_{Paja}$, es $\rho_{Paja}=150\frac{kg}{m^3}$ y la densidad del aire, $\rho_{a}$, es $\rho_{a}=1,250\frac{kg}{m^3}$, tendremos, empleando la definición de densidad, $\rho=\frac{m}{V}$, y la del peso, $P$, como $P=mg$,

Volumen de $1 kg$ de plomo:

$V_{Pb}=\frac{1 kg}{11300\frac{kg}{m^3}}=8,850\times10^{-5} m^3 =8,850\times10^{-2} l =88,50cm^3$.

Volumen de $1 kg$ de paja:

$V_{Paja}=\frac{1 kg}{150\frac{kg}{m^3}}=6,667\times10^{-3} m^3 =6,667 l =6667 cm^3$.

Masa de aire desalojada por el volumen de $1 kg$ de plomo:

$m_{a,Pb}=1,250\frac{kg}{m^3}\times8,850\times10^{-5} m^3 =1,1063\times10^{-4} kg$.

Masa de aire desalojada por el volumen de $1 kg$ de paja:

$m_{a,Paja}=1,250\frac{kg}{m^3}\times6,667\times10^{-3} m^3=8,3338\times10^{-3} kg$.

Peso de la masa de aire desalojada por $1 kg$ de plomo (empuje para el plomo):

$E_{a,Pb}=1,1063\times10^{-4} kg\times9,81\frac{m}{s^2}=1,0853\times10^{-3}N$.

Peso de la masa de aire desalojada por $1 kg$ de paja (empuje para la paja):

$E_{a,Paja}=8,3338\times10^{-3} kg\times9,81\frac{m}{s^2}=81,7546\times10^{-3}N$.

Peso de $1 kg$ de plomo:

$P_{Pb}=1 kg\times9,81\frac{m}{s^2}-1,0853\times10^{-3}N=9,8089 N=0,99989 kg$.

Peso de $1 kg$ de paja:

$P_{Paja}=1 kg\times9,81\frac{m}{s^2}-81,7546\times10^{-3}N=9,7282 N=0,99167 kg$.

Así que la respuesta a la pregunta es que siendo rigurosos, una masa de $1kg$ de plomo pesa más que una masa de $1 kg$ de paja. Poco más, pero pesa más.